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【✅数学アプリ作りました！】『数学図鑑』高校数学や大学数学をビジュアルで楽しむアプリです!apps.apple.com/jp/app/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%9B%B3%E9%91%91-%E3%83%93%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%81%A7%E7%90%86%E8%A7%A3%E3%81%99%E3%82%8B%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%A2%E3%83%97%E3%83%AA/id6499109813『素数マージ』スイカゲームの素数バージョンです!apps.apple.com/jp/app/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%82%B8/id6503350877【この動画に関連するおススメの書籍】amzn.to/3kJNet3【次に見るべきオススメ動画はこちら❗️】素数の法則が見つかりました 【ゆっくり解説】ruclips.net/video/vqrG83yUhCY/видео.html
ガロア理論からわかることは5次方程式には *代数的* 解法が無いという事です。「ガロア理論の頂を踏む」を読めば5次方程式には代数的解法が無いということの意味が分かると思います。5次方程式の代数的でない解法は何通りか存在します。ウィキペディアの「五次方程式」に載ってるよ。
任意の自然数nに対応するn次方程式も存在する。
解析的公式？
やっと体と環の定義を理解しついにこの議論まで来ました。そろそろ理解出来る時ができると思うと嬉しいさが溢れます。
5次以降に一般解が無いことを証明したガロアも凄いけど素人からすると3次と4次のあの長い一般解を求めた人も大概なんですが…
どこかミスったときの絶望感えぐそう
0:51 「五次方程式以降は解の公式が存在しなくなる」は誤り。少し調べてもらえればわかりますが、五次以降の方程式で存在しないのは代数的な解の公式です。超越的な解の公式ならば5次方程式はもちろん、n次方程式に対しての解の公式というものもそんざいしています。
(タイムスタンプ）1:23 「エヴァリスト・ガロア」の人生について解説し始める5:51 「代数学の基本定理」解説し始める（感想）いつも興味深い内容で、すごく面白いです！今回も面白かったです！
ケーブル
ざんねんながら、ガロア理論の話は一切されませんでしたね
@@MS-gq4gx ホレ、直したよ
@@iwashikazuhisa ホレ、直したよ
@@MS-gq4gxこいつのコメントに高評価つけた奴可笑しくね？😂
ガロアがエコール・ポリテクニクの入学試験の際に述べた「対数の定義」は秀逸です。
ガロア理論は代数学に即したものだけど、後世の関数や数論をも飛躍的に発展させています。ガロアが10年長生きしていれば数学は200年早く進んだはず、とは度々口にされた話です。
「任意の5次方程式に解の公式がない」ことを証明したのはニールス・アーベルやぞ。ガロア理論で証明されるのは「解の公式を持つ必要十分条件」だったはず。
アルベールはガウスさんにもみ消されて結核で亡くなった人？
@@ささ-i6f4m ガウスじゃなくコーシーじゃなかったかな。ガロアの論文握りつぶしたのも確かコーシー。
それな!
5次方程式も代数的でなくて良いなら、楕円関数とかを使って解の公式が書けるみたいな話は聞いたことがある
楕円関数はフェルマーの最終定理(モジュラー性定理)が証明できるほどの強力な道具でもあるから、5次方程式くらい解けても違和感無い詳しくはよく分からんが😅
@@あきごっち 何次でも解けますよ。
五次対称群が可解群ではないから、五次多項式のガロア群の中で可解でないものが存在する
ガロアと決闘したやつは、あの世の知識人達からボロクソに叩かれてそう
いや無いわ負けたんが悪いわ👎️
厳しいなw
あの世chガロア〇した奴wwwwww1.あの世から名無しがお送りします アホやろ
@@あぴ-o7m 特にガロアのアンチという訳ではなく、頭が昭和なだけ😅
数学者が決闘勝てるわけないやろw
解の公式暗唱できるまで帰らせてもらえなかった学校の先生には今でも感謝してる
良い奴で草
@@モーミン 実は四次方程式なんだよね……
@@豚-1000人目標監禁で草
@@豚-1000人目標 すき
@@豚-1000人目標 帰ったのいつ なんだろう...
５次以上の方程式に解の公式が無いことを最初に証明したのはアーベルであり、ガロアではありませんガロアは群論という数学の一大分野のパイオニアであり、それを用いてアーベルの証明を再定義したんです
「5次以上の方程式に解の公式がないことをガロアが見つけた」って言うのって、「蒸気機関はワットが発明した」って言ってるようなもんだよね。可解性についてのガロアの功績がすごいのは歴然たる事実だが。
5次方程式以降は解の公式は使えない 作図の上で 座標面で読み取るしかない
五次方程式の代数的解法が仮にあったとしても人力で解くのは無理。項が五次では120、六次では720、七次では840と階乗で増えてくる。俺はパソコンで五乗根を解こうとしてその項の多さに閉口した、昔のパソコンではメモリーが足らなくなるんだな。五乗根まではどうにかプログラミングに成功したが、結局六乗根以上は普通に掛け算して近似的に求めたほうが早いことに気づいた。
5次方程式に解の公式が存在しない(正確には,どんなパターンの方程式でも通用する万能な物は存在しない)ことを証明したのはアーベルでは？ パターンによっては存在するらしく、ガロアは、このパターンならこの公式、このパターンならこの公式、‥、このパターンなら公式は存在しない、という整理をしたんですよね？補足ですが、存在しないとは、正確に言うと、加減乗除とべき乗だけを有限回行う,ありとあらゆるの式の中に存在しない(該当なし)という意味です。要するに、xにそういうどんな式を入れても、左辺が0に(係数が打ち消し合って0に)なってくれることは絶対にないという意味です。2次方程式なら,xに(-b±√(b^2-4ac))/(2a)を入れれば0になってくれます。ax^2 + bx + c= a((-b±√(b^2-4ac))/(2a))^2 + b((-b±√(b^2-4ac))/(2a)) + c= (a(-b±√(b^2-4ac))^2 + 2ab(-b±√(b^2-4ac)))/(4a^2) + c= (a(2b^2-4ac-±2b√(b^2-4ac)) + a(-2b^2±2b√(b^2-4ac)))/(4a^2) + c= (a(-4ac))/(4a^2) + c = -c + c = 0。2次方程式の場合は、左辺が0に(係数が打ち消し合って0に)なってくれる式があるわけです。
「5次方程式には解の公式は存在しない」こう言われてもちょっと理解がしにくい。「5次方程式の解は、係数から四則演算とn乗根だけを使って表すことが可能であるとは限らない」と言う方が分かりやすいと思う。
決闘の話なんかより、ガロアの生み出した証明の手法が現代数学の証明の方法の基礎となっているという部分を、しっかりと解説してほしかったのだが・・。
wiki読んでるだけやからむり
最初に証明を完成させたのはアーベルだったが、技巧的で他の研究者にあまり理解してもらえなかった。ガロアは群・体という概念を作って証明したので非常にシンプルでわかりやすいものになった。アーベルもガロアも当時できつつあった証明の断片を完成させたと個人的に思っている。一見すると天才的ひらめきに見える業績も、よく見れば過去からの積み重ねになっている。
シンプル....ではないな......
理論自体がシンプルかは置いておいて、固定群と固定体の対応という発想自体はある種イメージがつきやすいですし、何よりガロアの功績は証明というより理論ですからね代数的な解の存在についてだけでも、アーベルの証明は五次方程式一般に関する証明に終始していますが、ガロア理論はより具体的に「どういう場合であれば代数的解が存在するか」についての手掛かりになっているという点でもやはり優秀…
この動画を見ていたおかげでクイズの大会で「20歳で決闘により死亡した/」でガロアと答えることができました！ありがとうございました！
五次方程式の解の公式が存在しないことを初めて証明したのはガロアじゃないし、ガロア理論は解の公式が存在しないことの理論じゃないような？
ですね。不存在の証明だけならアーベルで終了。ガロア理論（だけでなくそれとラグランジュ分解式などの方程式論を合わせること）によって、「解の公式が存在するための必要十分条件が分かる」と言うべきでしょう。「解の公式」とは、正確には「代数方程式の係数から加減乗除とベキ根操作で解を表現する公式」のことですが、「その方程式だけに通用する公式」の話と、文字係数の方程式の係数文字を用いて表現した一般公式」の話は分けて考える必要があります（どっちの話の必要十分条件もガロア理論から分かるが、同じ話ではない）。
ガロアの経歴を見ると、やっぱり狂ったやつほど頭が良いことを実感する
ガロア理論の解説がないじゃん！！ガロア理論を使って証明されたことの解説しかないフォークの解説動画なのに「フォークを使うと例えばスパゲティを食べられるぞ！スパゲティとは…」とかいってフォークの解説せずにスパゲティの解説してるようなもんじゃん
5次方程式の解き方として、ニュートン法と言うと思いきや、まさかの楕円関数。ちなみに私は計算物理学専門です。解析的に解くのと、数値的に解くのとでは訳が違いますね。
12:08これどういうことですか？結局「その解を求める公式」は解の公式になるんだから結局5次以上の解の方程式は存在するのではないんですか？何を持って存在しないというのか分かんなくなってきましたこれはやはり大学行かないと分からない事なのでしょうか
ガロアの主張は「任意の5次以上の方程式について、整数を有限回加減乗除およびq乗（qは有理数）して解を得ることができるとは限らない」です解を得るのに極限操作とか要るんじゃなかったかな確か
@@黒木疾風-t6s えっとつまり-b±√(b²-4ac)/2aみたいに書ききれる(一般の？)公式では表せなくってa+b+c+d+………みたいに「無限」に話を広げないと公式はないよってことですか
@@waitfor3minutes ですですちなみに任意の実数零点を持つ関数の零点を数列の収束先として得る方法にニュートン法というのがあるので興味があるなら調べるとよろし
@@黒木疾風-t6s なるほど、用語が難解なのがたくさん出てきて感覚でしか理解できませんでしたがなかなか凄い角度から求めているんですねなんか歯に挟まった肉片を取っているような気持ちになります気持ちスッキリしましたありがとうございます
まさに数奇な人生
いい歳になって今更数学が面白いと思うようになってきたけど、基礎的な知識がほぼないから理解できないことも多く、今の気持ちを持って学生の頃に帰れたらと、どうしようもないことを思うようになってきました。ガロアさんがもしこの時決闘をしてなかったとしても、強い政治思想を持ったままでいたなら、フランスやヨーロッパの激動の時代だっただけに、収監されたり結局命を落とすようなことになったりしてた気がします。
基礎的な知識を学ぶのは今からでも遅くない。教科書を買うかRUclipsやサイトで勉強しよう。
数学知識は無いけれど、今回の動画が面白く感じたのであれば、サイモンシン氏の「フェルマーの最終定理」、「暗号解読」あたりをおすすめします！（有名なので既知かも知れませんが…）
@@あん-m7k とりあえず、数学系のRUclipsを見ていくことにしてみます。
@@kiyasse 誰の動画か忘れましたが、フェルマーの最終定理の動画は一度見たことがあります。この方のやつももう一度見てみます。
勉強したいならすればいいやん。言い訳してないで。受験生だって参考書片手に独学してるんだから。大人になって勉強が楽しくなるのは上から強制されないし、自分の好きなとこだけ勉強できるから。
もしやデデキントカットのデデキントと物理のリウヴィルの定理に出てくるリウヴィルだったりします？名を知ってる数学者達が知り合いだった系のエピソード激アツ。楕円関数ってそんなところに使えるんですね。物理畑の人間だから振り子で振れ幅が小さくない時(sinθを一次のテイラー展開と見做せない時)に出てくる関数という印象しかなかったので驚きでした。
そのデデキントであり、そのリウビルです。で、ついでに言うと、ガロアとかアーベルの論文を失くしちゃった大悪人は、あの有名なコーシーですw
解析学大好き民からすると楕円や円の式を関数と言うのはちょっと抵抗ある…円や楕円の形状を思い浮かべてそこに縦の直線を引くと1番端っこ以外では2点で共有するからxにある値を代入してもyの値が一つに定まらないんよねで関数の定義がざっくり言うとxにある値を代入したときその式の値が１つに定まる式だから１つに定まらない円や楕円は関数ではなく方程式と言うことが多い
楕円関数。気になりますね。僕は、線形代数の三角法を使って逆行列を求めて解を解く方法しか思い付きませんでした。
単純に皆は彼がある函数の不変群を研究したと言うかも知れない。しかし、ガロアの最初のステップはまったく逆だ。すなわち、全く不変でない函数を選ぶことで、彼は可能な限り対称性を壊す。某数学者さんが答えてたの思い出した
質問ですそもそも「解の公式が存在する」の定義は何ですか？「係数a,b,c,... と ＋ - × ÷ √ sin とかの初等関数 という概念だけで表現できる」という認識で合ってますか？
解の公式が存在するということは、特定の形式の方程式について、その解を求めるための明確な写像が存在すること(解析解)を意味します。要は、極限の操作のように近似して解を作るのではなくある変数に対し一つが求められる式が存在すること。
はるか昔に大学の授業で習ったけど、とてつもなく難しかったことだけは覚えてる
この三次方程式の解の公式はx^3の係数が1の時だけじゃないですか？
高校教諭が「３次以上には『解の公式』は無い」と言っていたから３次と４次の公式があることに驚いたｗあの教諭め・・・知らなかったのか、もしくは単に説明するのがメンドくさかったのか・・・適当言いやがってｗｗ
n次方程式の解の公式もあるんだよねw
ガロアの顔の絵すきなんだよねw
展開してax^5+bx^4+cx^3+dx^2+gx+hになるような数式は無い、しかしaまたはhを仮定すれば因数分解できるようになる。ガロアが20歳で知っていたこれを理解するのに余は何年かかるのだろうか？
4次方程式の解の公式.....迷惑でしか無い、は草w
おもしろい
thanks you, never think about yuukuri can explain Galois theory.
私たちにもわかりやすく説明していただける動画有難いです。どれでけ理解できているかと問われると？？？ですが。応援しています。
五次方程式はあっても解くのは出来ない。
特別な場合は解けるけどね簡単な例だと、x^n - 1は何次でも解ける
一応解けるよ。ていうか自然数次方程式は解ける照明ができる。
四次方程式の解の公式がこれじゃ何も見えないに草。
ちなみに三角関数を用いれば、5次以上の方程式の解を表せるものもあるねここでいう「解の公式」は冪乗と冪乗根と四則演算だけで表せるものを言ってるからね
彼の業績には詳しくないけど漫画「栄光なき天才たち」で彼の存在を知ってる人は５０代くらいには多いと思う
20歳というのが惜し過ぎる！ すべてのギフト(天才)がその才能を活かせるわけではないだろうけど 才能を開花させる環境さえあればと思わずにいられない ラマヌジャンとか
ギフテッドなー( ´꒳` )
現代はいいよね
gift(贈り物)
ギフトを持つ子供たちって編集しとけ。形成逆転や。
ガロアもラマヌジャンも、最期は気の毒でした。合掌。そういや、ラマヌジャンの半生は実写映画化されていますけれど［奇蹟がくれた数式（2016年公開）］、ガロアはまだのようですね（ん、当方が知らないだけかしらん？）。
2次方程式の解の公式は知ってたけど1次のやつ地味に知らなかった
そこで楕円関数が出てくるのかぁ。じゃあ、次はフェルマーの最終定理お願いします。
楕円関数もっと知りたいな
四則演算と根号の限界
3次方程式の解の公式には分母に a がないけど、a = 0 のときでも、つまり2次方程式の解も、3次方程式の解の公式で求められるの？
8:40 の画像はa,b,cしか使われていないことからも分かりますがx³+ax²+bx+c=0の公式です。本当のax³+bx²+cx+d=0の公式では分母にaが入ります。
@@ShotaBLD なるほど。投稿者のミスということね。教えてくれてありがとう
5:00ご自由に(w)
(w)は初めてみたわ(w)
いきなりガロア理論出してるが、ガロアが書く前にアーベルが証明完成してなかったか？ガロア理論の方が後で、アーベルの証明を大幅に簡略化された完成度の高いものだった。ただしガロアはアーベルの証明を見てないはず、と注釈入れてほしい。
解の公式が存在しなくても、複素解を数値計算で求めるテクニックというのはあります。たとえば、C*S**の高精度計算サイトにも、一般のＮ次方程式の解すべてを数値的に解くページがあったりします。そんなテクニックを誰が見つけたか詳しくは存じませんけれど、すごいですね。
そもそも解の公式が何なのかわかってないと理解できない。
8:40 三次方程式の解の公式にd無いのおかしくね？解と定数項が無関係な訳ないよな？
画面上部にはax^3 + bx^2 + cx + d = 0と書いてありますが画面下部にはx^3 + ax^2 + bx + c = 0についての解の公式が貼ってありますね！
数学者全然知らんけど、チャートに載ってたからおぼえてるw
自力で解の公式の導出なんてデデキント
天才は早死にするの好例…😢
楕円関数……楕円積分ってのは二種類あって、一般に原関数を決められないんじゃなかったっけ？うろ覚えであります。
∑の無限和を使えば求められるよ。少なくとも第一種完全楕円関数の方は。sin^2を変数とする分数関数とみてマクローリン展開することで、各項は明らかに積分可能だから無限級数の形ではあれど積分はできる。
三次方程式、四次方程式の解の公式は、誰が見ても複雑に思えるから、覚える必要はない。
3次方程式の解の公式を導出する問題が、昔、東大の入試で出題されましたね。全部まるごと導出ではなく、空欄を埋める問題でしたが。
享年ハタチで論文？天才ヤバすぎる
ガロアが証明しましたね。
ガロアは歴史に残る科学者としては最も若死にした人物かな、しかもかなり重要度でもかなり上位に入りそう、歴史上の科学者ベストランキングのアンケートをとったらベスト５０には入るだろう
捕まる理由になった言動も知りたいな。決闘も反対勢力が仕組んだのかも…て陰謀があるかもな気が…😨
デデキント？ドドロンパ！
昔の代数学のテキストだと、正五角形の作図が不可能とガロア理論から導いていたが、コンパスと定規で、作図はできるのね。少々、困惑してます。
ガロアさん松本潤に似てませんか。それはともかく大学入試で3次方程式の解の公式を使うのは禁じ手かも
1.5倍速で見るとちょうど良い喋りが遅いと感じる
自分はガロア理論って何なのか全くわかってないことを分かっていて、今まで何度かその近くまで行ったけど理解出来ずに還暦を超えてしまった。この前のNHKの尾形の番組もガロアの回だけ見逃した。なので、この動画に出会い、来たー！と歓喜して見たのだが、で、ガロア理論って何？
ガロア理論は、有理数のガロア拡大体なる概念を導入、有理数係数n次方程式の解とガロア群との対応(ガロア対応)によって解の持つ構造を明らかにし、解がガロア拡大の繰り返しで表現できる数かどうかを調べます。一例をあげるとx^4-2=0の解は、ガロア拡大体Q(2^(1/4),i)で表現でき、この数は可解群である二面体群D4とガロア対応する、といった具合です。
NHKのガロア回も今NHKオンデマンドて110円とかで見れたと思います。
RUclipsで「笑わない数学」って調べたら無断転載で乗ってるよ
ガロアなら今の大学受験数学なら余裕で満点なのかなー？
試しにX^5=0やX^5+X=0を電卓に計算させたらすぐに解いてくれた（解は書き写すのが面倒なので略）つまり解を出す明確な手順があるんだと思うそれを「解の公式」と呼ばないのはなんで？
係数がどんな値であったとしてもその係数の情報のみを使って解を導くのが解の公式です。特殊な例を挙げれば解けるものはあるけど、どんな式が来ても解けなければいけない。
解があるのにコンピュータに解けない場合があるってことですか？それとも解の公式とは呼ばないってだけでアルゴリズムとしては解けるってことですか？
@@----___----___----___----___--コンピュータでのアルゴリズムについては分からないのでなんとも言えませんが、動画での主張「解の公式が存在しない｣はとても抽象的で分かりにくいです。実際は「５次以上の一般の方程式は‘’代数的に解けない”」です。ここで言う代数的に解くとは四則演算や根、べき乗などを用いて解を求めること言います。どんなに頑張って式変形しても求めれない方程式があるということです。
いや、公式はあるっちゃあるけど代数ではないんや。だから正しくは「代数的な解の公式は存在しない」ってことや
@@辻本ロサンゼルス-p6v こらこら、そんなことを言うと代数的ではない公式を見たくなるではないかw
19歳じゃなかったっけ？？
解はあるのに一般化できないのか..
√がなかった時代に、xの二乗=2のがどうやっても解けなかった、みたいなイメージ
整数の和差積商とn乗根をどう組み合わせても表現できない解が存在するって感じかな
解か存在するのと、それを求められる事は数学的には全く別の事ですので。
@@ichken1 なるほど。
ガロアは単に決闘して負けたってわけでないんだよなあ
実際謎。そもそも相手もわかってないし、政府から撃たれたって説もある
ゼロ反復性を導入すると…全ての高次代数方程式が実数解を持つというような話になりかねないのである…実数解の概念が変質する可能性大である…
うーん、分からん！
@@Alishii_Alice プラス反復性に準拠する(+1)とマイナス反復性に準拠する(−1)を連結して#(1)=+1−1という新しい数概念を導入できる…ここで不変量シフトが起きていることに留意すべきである…不変量設定の(±)記号が機能を停止していると定義する…単位円の半径(±1)を両方とも同時利用するときの不変量が#(1)である…半径(+1)はプラス反復性に準拠する…半径(−1)はマイナス反復性に準拠する…連結して(±)記号が機能を停止するときの不変量が#(1)である…これはゼロの仲間である…
この#(1)は…#(n)..(ただしn≠1)まで一般化可能である…この一般化した#(n)は…全ての高次代数方程式と解を…持つことになるんだよねぇ…
もういい？
カミーユみたいな奴だな 名前は男らしいけど
もう、四次方程式も解の公式なしでいいんじゃない？
a0, a1, ... が虚数の場合も必ず解が存在するの？
純虚数係数や複素数係数でも解は複素数の範囲に必ず存在します。これは代数学の基本定理と呼ばれます。一方でガロアが扱っていた方程式は有理数係数多項式だったかと思います。(有理数係数の多項式方程式は両辺を何倍かすることで必ず整数係数になるので、整数係数の場合だけを考えます。)
スクロールしとるw
数学的に頭が良くても、人間関係を無難にやり過ごして自分の命を助ける選択肢が閃けないんじゃちょっと使い勝手悪いか
解の公式存在しないとかキモすぎ せめて何パターンかテンプレート化してくれ まぁ俺低学歴だから勉強する必要ないけど
あったとしても長すぎて使い物にならなそう
これは鋭い着眼点です。ガロア理論は5次方程式を係数の組み合わせによって代数的に解けるもの(可解群)とそうでないもの(非可解群)に分類します。たとえばある5次方程式が非可解群である対称群S5に分類されたとき、その5次方程式は代数的に解く公式を作れません。可解群に分類された場合の解法はSolving Quintics by Radicals Daniel Lazardで検索すると出てきます 18ページあります
@@yamamoto65536 全くわからん
ガロアを殺害したヤツは、人類の敵だね。人類の未来を奪うほどのいい女だったってことか…
実際誰が殺したかはわかってないよ。政治面から政府に暗殺された説もある
四次元以上は、構成する枠組みがないってこと。
4次元あるくね？
3次元から4次元は観測出来ない
空間が3次元＋時間が1次元あるので、3次元ディスプレイに動画を表示することで4次元の事象を表示できますよ。紙に2次元のグラフを2個書いて(x軸-y軸のグラフとz軸-w軸のグラフ)4次元の事象をプロットしても良い。そして人は4次元どころか加算無限次元そして連続体無限次元の事象を頭の中で想像することが出来ます。
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『素数マージ』
スイカゲームの素数バージョンです!
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ガロア理論からわかることは5次方程式には *代数的* 解法が無いという事です。「ガロア理論の頂を踏む」を読めば5次方程式には代数的解法が無いということの意味が分かると思います。5次方程式の代数的でない解法は何通りか存在します。ウィキペディアの「五次方程式」に載ってるよ。
任意の自然数nに対応するn次方程式も存在する。
解析的公式？
やっと体と環の定義を理解しついにこの議論まで来ました。
そろそろ理解出来る時ができると思うと嬉しいさが溢れます。
5次以降に一般解が無いことを証明したガロアも凄いけど
素人からすると3次と4次のあの長い一般解を求めた人も大概なんですが…
どこかミスったときの絶望感えぐそう
0:51 「五次方程式以降は解の公式が存在しなくなる」は誤り。少し調べてもらえればわかりますが、五次以降の方程式で存在しないのは代数的な解の公式です。超越的な解の公式ならば5次方程式はもちろん、n次方程式に対しての解の公式というものもそんざいしています。
(タイムスタンプ）
1:23 「エヴァリスト・ガロア」の人生について解説し始める
5:51 「代数学の基本定理」解説し始める
（感想）
いつも興味深い内容で、すごく面白いです！
今回も面白かったです！
ケーブル
ざんねんながら、ガロア理論の話は一切されませんでしたね
@@MS-gq4gx ホレ、直したよ
@@iwashikazuhisa ホレ、直したよ
@@MS-gq4gxこいつのコメントに高評価つけた奴可笑しくね？😂
ガロアがエコール・ポリテクニクの入学試験の際に述べた「対数の定義」は秀逸です。
ガロア理論は代数学に即したものだけど、後世の関数や数論をも飛躍的に発展させています。
ガロアが10年長生きしていれば数学は200年早く進んだはず、とは度々口にされた話です。
「任意の5次方程式に解の公式がない」ことを証明したのはニールス・アーベルやぞ。
ガロア理論で証明されるのは「解の公式を持つ必要十分条件」だったはず。
アルベールはガウスさんにもみ消されて結核で亡くなった人？
@@ささ-i6f4m ガウスじゃなくコーシーじゃなかったかな。
ガロアの論文握りつぶしたのも確かコーシー。
それな!
5次方程式も代数的でなくて良いなら、楕円関数とかを使って解の公式が書けるみたいな話は聞いたことがある
楕円関数はフェルマーの最終定理(モジュラー性定理)が証明できるほどの強力な道具でもあるから、5次方程式くらい解けても違和感無い
詳しくはよく分からんが😅
@@あきごっち 何次でも解けますよ。
五次対称群が可解群ではないから、五次多項式のガロア群の中で可解でないものが存在する
ガロアと決闘したやつは、あの世の知識人達からボロクソに叩かれてそう
いや無いわ
負けたんが悪いわ👎️
厳しいなw
あの世ch
ガロア〇した奴wwwwww
1.あの世から名無しがお送りします
アホやろ
@@あぴ-o7m 特にガロアのアンチという訳ではなく、頭が昭和なだけ😅
数学者が決闘勝てるわけないやろw
解の公式暗唱できるまで帰らせてもらえなかった学校の先生には今でも感謝してる
良い奴で草
@@モーミン 実は四次方程式なんだよね……
@@豚-1000人目標監禁で草
@@豚-1000人目標
すき
@@豚-1000人目標 帰ったのいつ なんだろう...
５次以上の方程式に解の公式が無いことを最初に証明したのはアーベルであり、ガロアではありません
ガロアは群論という数学の一大分野のパイオニアであり、それを用いてアーベルの証明を再定義したんです
「5次以上の方程式に解の公式がないことをガロアが見つけた」って言うのって、「蒸気機関はワットが発明した」って言ってるようなもんだよね。
可解性についてのガロアの功績がすごいのは歴然たる事実だが。
5次方程式以降は解の公式は使えない
作図の上で 座標面で読み取るしかない
五次方程式の代数的解法が仮にあったとしても人力で解くのは無理。項が五次では120、六次では720、七次では840と階乗で増えてくる。
俺はパソコンで五乗根を解こうとしてその項の多さに閉口した、昔のパソコンではメモリーが足らなくなるんだな。
五乗根まではどうにかプログラミングに成功したが、結局六乗根以上は普通に掛け算して近似的に求めたほうが早いことに気づいた。
5次方程式に解の公式が存在しない(正確には,どんなパターンの方程式でも通用する万能な物は存在しない)ことを証明したのはアーベルでは？ パターンによっては存在するらしく、ガロアは、このパターンならこの公式、このパターンならこの公式、‥、このパターンなら公式は存在しない、という整理をしたんですよね？
補足ですが、存在しないとは、正確に言うと、
加減乗除とべき乗だけを有限回行う,ありとあらゆるの式の中に
存在しない(該当なし)という意味です。
要するに、xにそういうどんな式を入れても、
左辺が0に(係数が打ち消し合って0に)なってくれることは絶対にない
という意味です。
2次方程式なら,xに(-b±√(b^2-4ac))/(2a)を入れれば0になってくれます。
ax^2 + bx + c
= a((-b±√(b^2-4ac))/(2a))^2 + b((-b±√(b^2-4ac))/(2a)) + c
= (a(-b±√(b^2-4ac))^2 + 2ab(-b±√(b^2-4ac)))/(4a^2) + c
= (a(2b^2-4ac-±2b√(b^2-4ac)) + a(-2b^2±2b√(b^2-4ac)))/(4a^2) + c
= (a(-4ac))/(4a^2) + c = -c + c = 0。
2次方程式の場合は、
左辺が0に(係数が打ち消し合って0に)なってくれる式があるわけです。
「5次方程式には解の公式は存在しない」
こう言われてもちょっと理解がしにくい。
「5次方程式の解は、係数から四則演算とn乗根だけを使って表すことが可能であるとは限らない」
と言う方が分かりやすいと思う。
決闘の話なんかより、ガロアの生み出した証明の手法が現代数学の証明の方法の基礎となっているという部分を、しっかりと解説してほしかったのだが・・。
wiki読んでるだけやからむり
最初に証明を完成させたのはアーベルだったが、技巧的で他の研究者にあまり理解してもらえなかった。
ガロアは群・体という概念を作って証明したので非常にシンプルでわかりやすいものになった。
アーベルもガロアも当時できつつあった証明の断片を完成させたと個人的に思っている。
一見すると天才的ひらめきに見える業績も、よく見れば過去からの積み重ねになっている。
シンプル....ではないな......
理論自体がシンプルかは置いておいて、固定群と固定体の対応という発想自体はある種イメージがつきやすいですし、何よりガロアの功績は証明というより理論ですからね
代数的な解の存在についてだけでも、アーベルの証明は五次方程式一般に関する証明に終始していますが、ガロア理論はより具体的に「どういう場合であれば代数的解が存在するか」についての手掛かりになっているという点でもやはり優秀…
この動画を見ていたおかげでクイズの大会で「20歳で決闘により死亡した/」でガロアと答えることができました！
ありがとうございました！
五次方程式の解の公式が存在しないことを初めて証明したのはガロアじゃないし、ガロア理論は解の公式が存在しないことの理論じゃないような？
ですね。不存在の証明だけならアーベルで終了。ガロア理論（だけでなくそれとラグランジュ分解式などの方程式論を合わせること）によって、「解の公式が存在するための必要十分条件が分かる」と言うべきでしょう。
「解の公式」とは、正確には「代数方程式の係数から加減乗除とベキ根操作で解を表現する公式」のことですが、「その方程式だけに通用する公式」の話と、文字係数の方程式の係数文字を用いて表現した一般公式」の話は分けて考える必要があります（どっちの話の必要十分条件もガロア理論から分かるが、同じ話ではない）。
ガロアの経歴を見ると、やっぱり狂ったやつほど頭が良いことを実感する
ガロア理論の解説がないじゃん！！
ガロア理論を使って証明されたことの解説しかない
フォークの解説動画なのに「フォークを使うと例えばスパゲティを食べられるぞ！スパゲティとは…」とかいってフォークの解説せずにスパゲティの解説してるようなもんじゃん
5次方程式の解き方として、ニュートン法と言うと思いきや、まさかの楕円関数。ちなみに私は計算物理学専門です。解析的に解くのと、数値的に解くのとでは訳が違いますね。
12:08これどういうことですか？
結局「その解を求める公式」は解の公式になるんだから結局5次以上の解の方程式は存在するのではないんですか？
何を持って存在しないというのか分かんなくなってきました
これはやはり大学行かないと分からない事なのでしょうか
ガロアの主張は「任意の5次以上の方程式について、整数を有限回加減乗除およびq乗（qは有理数）して解を得ることができるとは限らない」です
解を得るのに極限操作とか要るんじゃなかったかな確か
@@黒木疾風-t6s えっとつまり
-b±√(b²-4ac)/2aみたいに書ききれる(一般の？)公式では表せなくって
a+b+c+d+………みたいに「無限」に話を広げないと公式はないよってことですか
@@waitfor3minutes ですです
ちなみに任意の実数零点を持つ関数の零点を数列の収束先として得る方法にニュートン法というのがあるので興味があるなら調べるとよろし
@@黒木疾風-t6s なるほど、用語が難解なのがたくさん出てきて感覚でしか理解できませんでしたが
なかなか凄い角度から求めているんですね
なんか歯に挟まった肉片を取っているような気持ちになります
気持ちスッキリしましたありがとうございます
まさに数奇な人生
いい歳になって今更数学が面白いと思うようになってきたけど、基礎的な知識がほぼないから理解できないことも多く、今の気持ちを持って学生の頃に帰れたらと、どうしようもないことを思うようになってきました。
ガロアさんがもしこの時決闘をしてなかったとしても、強い政治思想を持ったままでいたなら、フランスやヨーロッパの激動の時代だっただけに、収監されたり結局命を落とすようなことになったりしてた気がします。
基礎的な知識を学ぶのは今からでも遅くない。教科書を買うかRUclipsやサイトで勉強しよう。
数学知識は無いけれど、今回の動画が面白く感じたのであれば、サイモンシン氏の「フェルマーの最終定理」、「暗号解読」あたりをおすすめします！（有名なので既知かも知れませんが…）
@@あん-m7k とりあえず、数学系のRUclipsを見ていくことにしてみます。
@@kiyasse 誰の動画か忘れましたが、フェルマーの最終定理の動画は一度見たことがあります。
この方のやつももう一度見てみます。
勉強したいならすればいいやん。言い訳してないで。受験生だって参考書片手に独学してるんだから。
大人になって勉強が楽しくなるのは上から強制されないし、自分の好きなとこだけ勉強できるから。
もしやデデキントカットのデデキントと物理のリウヴィルの定理に出てくるリウヴィルだったりします？
名を知ってる数学者達が知り合いだった系のエピソード激アツ。
楕円関数ってそんなところに使えるんですね。物理畑の人間だから振り子で振れ幅が小さくない時(sinθを一次のテイラー展開と見做せない時)に出てくる関数という印象しかなかったので驚きでした。
そのデデキントであり、そのリウビルです。
で、ついでに言うと、ガロアとかアーベルの論文を失くしちゃった大悪人は、あの有名なコーシーですw
解析学大好き民からすると楕円や円の式を関数と言うのはちょっと抵抗ある…
円や楕円の形状を思い浮かべてそこに縦の直線を引くと1番端っこ以外では2点で共有するからxにある値を代入してもyの値が一つに定まらないんよね
で関数の定義がざっくり言うとxにある値を代入したときその式の値が１つに定まる式だから１つに定まらない円や楕円は関数ではなく方程式と言うことが多い
楕円関数。気になりますね。僕は、線形代数の三角法を使って逆行列を求めて解を解く方法しか思い付きませんでした。
単純に皆は彼がある函数の不変群を研究したと言うかも知れない。しかし、ガロアの最初のステップはまったく逆だ。すなわち、全く不変でない函数を選ぶことで、彼は可能な限り対称性を壊す。
某数学者さんが答えてたの思い出した
質問です
そもそも「解の公式が存在する」の定義は何ですか？
「係数a,b,c,... と ＋ - × ÷ √ sin とかの初等関数 という概念だけで表現できる」
という認識で合ってますか？
解の公式が存在するということは、特定の形式の方程式について、その解を求めるための明確な写像が存在すること(解析解)を意味します。要は、極限の操作のように近似して解を作るのではなくある変数に対し一つが求められる式が存在すること。
はるか昔に大学の授業で習ったけど、とてつもなく難しかったことだけは覚えてる
この三次方程式の解の公式はx^3の係数が1の時だけじゃないですか？
高校教諭が「３次以上には『解の公式』は無い」と言っていたから３次と４次の公式があることに驚いたｗ
あの教諭め・・・知らなかったのか、もしくは単に説明するのがメンドくさかったのか・・・適当言いやがってｗｗ
n次方程式の解の公式もあるんだよねw
ガロアの顔の絵すきなんだよねw
展開して
ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+gx+h
になるような数式は無い、
しかしaまたはhを仮定すれば
因数分解できるようになる。
ガロアが20歳で知っていたこれを理解するのに
余は何年かかるのだろうか？
4次方程式の解の公式.....迷惑でしか無い、は草w
おもしろい
thanks you, never think about yuukuri can explain Galois theory.
私たちにもわかりやすく説明していただける動画有難いです。どれでけ理解できているかと問われると？？？ですが。応援しています。
五次方程式はあっても解くのは出来ない。
特別な場合は解けるけどね
簡単な例だと、x^n - 1は何次でも解ける
一応解けるよ。
ていうか自然数次方程式は解ける照明ができる。
四次方程式の解の公式がこれじゃ何も見えないに草。
ちなみに三角関数を用いれば、
5次以上の方程式の解を表せる
ものもあるね
ここでいう「解の公式」は
冪乗と冪乗根と四則演算だけで
表せるものを言ってるからね
彼の業績には詳しくないけど漫画「栄光なき天才たち」で彼の存在を知ってる人は５０代くらいには多いと思う
20歳というのが惜し過ぎる！ すべてのギフト(天才)がその才能を活かせるわけではないだろうけど 才能を開花させる環境さえあればと思わずにいられない ラマヌジャンとか
ギフテッドなー( ´꒳` )
現代はいいよね
gift(贈り物)
ギフトを持つ子供たちって編集しとけ。形成逆転や。
ガロアもラマヌジャンも、最期は気の毒でした。合掌。
そういや、ラマヌジャンの半生は実写映画化されていますけれど［奇蹟がくれた数式（2016年公開）］、ガロアはまだのようですね（ん、当方が知らないだけかしらん？）。
2次方程式の解の公式は知ってたけど1次のやつ地味に知らなかった
そこで楕円関数が出てくるのかぁ。じゃあ、次はフェルマーの最終定理お願いします。
楕円関数もっと知りたいな
四則演算と根号の限界
3次方程式の解の公式には分母に a がないけど、a = 0 のときでも、
つまり2次方程式の解も、3次方程式の解の公式で求められるの？
8:40 の画像はa,b,cしか使われていないことからも分かりますが
x³+ax²+bx+c=0の公式です。
本当のax³+bx²+cx+d=0の公式では分母にaが入ります。
@@ShotaBLD なるほど。投稿者のミスということね。教えてくれてありがとう
5:00
ご自由に(w)
(w)は初めてみたわ(w)
いきなりガロア理論出してるが、ガロアが書く前にアーベルが証明完成してなかったか？ガロア理論の方が後で、アーベルの証明を大幅に簡略化された完成度の高いものだった。ただしガロアはアーベルの証明を見てないはず、と注釈入れてほしい。
解の公式が存在しなくても、複素解を数値計算で求めるテクニックというのはあります。たとえば、C*S**の高精度計算サイトにも、一般のＮ次方程式の解すべてを数値的に解くページがあったりします。そんなテクニックを誰が見つけたか詳しくは存じませんけれど、すごいですね。
そもそも解の公式が何なのかわかってないと理解できない。
8:40 三次方程式の解の公式にd無いのおかしくね？解と定数項が無関係な訳ないよな？
画面上部にはax^3 + bx^2 + cx + d = 0と書いてありますが画面下部にはx^3 + ax^2 + bx + c = 0についての解の公式が貼ってありますね！
数学者全然知らんけど、チャートに載ってたからおぼえてるw
自力で解の公式の導出なんてデデキント
天才は早死にするの好例…😢
楕円関数……楕円積分ってのは二種類あって、一般に原関数を決められないんじゃなかったっけ？うろ覚えであります。
∑の無限和を使えば求められるよ。少なくとも第一種完全楕円関数の方は。sin^2を変数とする分数関数とみてマクローリン展開することで、各項は明らかに積分可能だから無限級数の形ではあれど積分はできる。
三次方程式、四次方程式の解の公式は、誰が見ても複雑に思えるから、覚える必要はない。
3次方程式の解の公式を導出する問題が、昔、東大の入試で出題されましたね。
全部まるごと導出ではなく、空欄を埋める問題でしたが。
享年ハタチで論文？天才ヤバすぎる
ガロアが証明しましたね。
ガロアは歴史に残る科学者としては最も若死にした人物かな、しかもかなり重要度でもかなり上位に入りそう、歴史上の科学者ベストランキングのアンケートをとったらベスト５０には入るだろう
捕まる理由になった言動も知りたいな。決闘も反対勢力が仕組んだのかも…て陰謀があるかもな気が…😨
デデキント？ドドロンパ！
昔の代数学のテキストだと、正五角形の作図が不可能とガロア理論から導いていたが、コンパスと定規で、作図はできるのね。少々、困惑してます。
ガロアさん松本潤に似てませんか。それはともかく大学入試で3次方程式の解の公式を使うのは禁じ手かも
1.5倍速で見るとちょうど良い
喋りが遅いと感じる
自分はガロア理論って何なのか全くわかってないことを分かっていて、今まで何度かその近くまで行ったけど理解出来ずに還暦を超えてしまった。この前のNHKの尾形の番組もガロアの回だけ見逃した。なので、この動画に出会い、来たー！と歓喜して見たのだが、で、ガロア理論って何？
ガロア理論は、有理数のガロア拡大体なる概念を導入、有理数係数n次方程式の解とガロア群との対応(ガロア対応)によって解の持つ構造を明らかにし、解がガロア拡大の繰り返しで表現できる数かどうかを調べます。
一例をあげるとx^4-2=0の解は、ガロア拡大体Q(2^(1/4),i)で表現でき、この数は可解群である二面体群D4とガロア対応する、といった具合です。
NHKのガロア回も今NHKオンデマンドて110円とかで見れたと思います。
RUclipsで「笑わない数学」って調べたら無断転載で乗ってるよ
ガロアなら今の大学受験数学なら余裕で満点なのかなー？
試しにX^5=0やX^5+X=0を電卓に計算させたらすぐに解いてくれた（解は書き写すのが面倒なので略）
つまり解を出す明確な手順があるんだと思う
それを「解の公式」と呼ばないのはなんで？
係数がどんな値であったとしてもその係数の情報のみを使って解を導くのが解の公式です。特殊な例を挙げれば解けるものはあるけど、どんな式が来ても解けなければいけない。
解があるのにコンピュータに解けない場合があるってことですか？
それとも解の公式とは呼ばないってだけでアルゴリズムとしては解けるってことですか？
@@----___----___----___----___--
コンピュータでのアルゴリズムについては分からないのでなんとも言えませんが、
動画での主張「解の公式が存在しない｣はとても抽象的で分かりにくいです。
実際は「５次以上の一般の方程式は‘’代数的に解けない”」です。
ここで言う代数的に解くとは四則演算や根、べき乗などを用いて解を求めること言います。
どんなに頑張って式変形しても求めれない方程式があるということです。
いや、公式はあるっちゃあるけど代数ではないんや。
だから正しくは「代数的な解の公式は存在しない」ってことや
@@辻本ロサンゼルス-p6v
こらこら、そんなことを言うと代数的ではない公式を見たくなるではないかw
19歳じゃなかったっけ？？
解はあるのに一般化できないのか..
√がなかった時代に、
xの二乗=2
のがどうやっても解けなかった、みたいなイメージ
整数の和差積商とn乗根をどう組み合わせても表現できない解が存在するって感じかな
解か存在するのと、それを求められる事は数学的には全く別の事ですので。
@@ichken1 なるほど。
ガロアは単に決闘して負けたってわけでないんだよなあ
実際謎。そもそも相手もわかってないし、政府から撃たれたって説もある
ゼロ反復性を導入すると…全ての高次代数方程式が実数解を持つというような話になりかねないのである…実数解の概念が変質する可能性大である…
うーん、分からん！
@@Alishii_Alice プラス反復性に準拠する(+1)とマイナス反復性に準拠する(−1)を連結して#(1)=+1−1という新しい数概念を導入できる…ここで不変量シフトが起きていることに留意すべきである…不変量設定の(±)記号が機能を停止していると定義する…単位円の半径(±1)を両方とも同時利用するときの不変量が#(1)である…半径(+1)はプラス反復性に準拠する…半径(−1)はマイナス反復性に準拠する…連結して(±)記号が機能を停止するときの不変量が#(1)である…これはゼロの仲間である…
この#(1)は…#(n)..(ただしn≠1)まで一般化可能である…この一般化した#(n)は…全ての高次代数方程式と解を…持つことになるんだよねぇ…
もういい？
カミーユみたいな奴だな 名前は男らしいけど
もう、四次方程式も解の公式なしでいいんじゃない？
a0, a1, ... が虚数の場合も必ず解が存在するの？
純虚数係数や複素数係数でも解は複素数の範囲に必ず存在します。これは代数学の基本定理と呼ばれます。一方でガロアが扱っていた方程式は有理数係数多項式だったかと思います。(有理数係数の多項式方程式は両辺を何倍かすることで必ず整数係数になるので、整数係数の場合だけを考えます。)
スクロールしとるw
数学的に頭が良くても、人間関係を無難にやり過ごして自分の命を助ける選択肢が閃けないんじゃちょっと使い勝手悪いか
解の公式存在しないとかキモすぎ せめて何パターンかテンプレート化してくれ まぁ俺低学歴だから勉強する必要ないけど
あったとしても長すぎて使い物にならなそう
これは鋭い着眼点です。ガロア理論は5次方程式を係数の組み合わせによって代数的に解けるもの(可解群)とそうでないもの(非可解群)に分類します。たとえばある5次方程式が非可解群である対称群S5に分類されたとき、その5次方程式は代数的に解く公式を作れません。可解群に分類された場合の解法はSolving Quintics by Radicals Daniel Lazardで検索すると出てきます 18ページあります
@@yamamoto65536 全くわからん
ガロアを殺害したヤツは、人類の敵だね。人類の未来を奪うほどのいい女だったってことか…
実際誰が殺したかはわかってないよ。政治面から政府に暗殺された説もある
四次元以上は、構成する枠組みがないってこと。
4次元あるくね？
3次元から4次元は観測出来ない
空間が3次元＋時間が1次元あるので、3次元ディスプレイに動画を表示することで4次元の事象を表示できますよ。紙に2次元のグラフを2個書いて(x軸-y軸のグラフとz軸-w軸のグラフ)4次元の事象をプロットしても良い。そして人は4次元どころか加算無限次元そして連続体無限次元の事象を頭の中で想像することが出来ます。
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